En esta página pueden encontrar información sobre la Conjetura de Henri Poincaré
lunes, 31 de enero de 2011
viernes, 28 de enero de 2011
miércoles, 26 de enero de 2011
Conclusión
En este curso aprendí a usar técnicas y métodos sugeridos por algunos autores como Polya y Pioncaré para resolver mejor problemas matemáticos.
También el Doctor Cantoral nos enseñó como utilizar los recursos tecnológicos para la investigación, divulgación y adquisición de nuevos conocimientos científicos.
Lo que necesito aprender son lenguajes de programación que me ayuden a crear software que me permitan simular y resolver problemas matemáticos.
También el Doctor Cantoral nos enseñó como utilizar los recursos tecnológicos para la investigación, divulgación y adquisición de nuevos conocimientos científicos.
Lo que necesito aprender son lenguajes de programación que me ayuden a crear software que me permitan simular y resolver problemas matemáticos.
Problema del oso, página 201
1. Partiendo de un punto $P$, un oso camina un kilómetro hacia el sur. Cambia entonces de dirección y recorre un kilómetro hacia el este. Después, dando vuelta a la izquierda, recorre un kilómetro hacia el norte para llegar exactamente al punto de partida $P$. ¿De qué color es el oso?
Considerando la tierra como exactamente esférica y al oso como un punto material móvil. Dicho punto describe un arco de meridiano al desplazarse hacia el sur o hacia el norte, y un arco de paralelo al ecuador al desplazarse hacia el este. Hay que distinguir dos casos:
1) Si el oso regresa al punto $P$ siguiendo un meridiano diferente del que ha seguido al salir de $P$, dicho punto es necesariamente el polo norte. De hecho el otro único punto de la tierra en el que dos meridianos se encuentran es el polo sur, pero el oso no podría salir de ese polo más que desplazándose hacia el norte.
2) El oso podría regresar al punto $P$ siguiendo el mismo meridiano que al salir de $P$ si, al desplazarse un kilómetro hacia el este, describiese $n$ paralelos completos, pudiendo ser $n=1,2,3,...$. En dicho caso, $P$ no es el polo norte sino un punto de un paralelo muy cercano al polo sur.
Pero cómo en el polo sur no hay osos, el oso podría ser blanco. Teniendo como verdadera la proposición 1).
Pero aún así con los datos iniciales no podemos demostrar que el osos es blanco.
Considerando la tierra como exactamente esférica y al oso como un punto material móvil. Dicho punto describe un arco de meridiano al desplazarse hacia el sur o hacia el norte, y un arco de paralelo al ecuador al desplazarse hacia el este. Hay que distinguir dos casos:
1) Si el oso regresa al punto $P$ siguiendo un meridiano diferente del que ha seguido al salir de $P$, dicho punto es necesariamente el polo norte. De hecho el otro único punto de la tierra en el que dos meridianos se encuentran es el polo sur, pero el oso no podría salir de ese polo más que desplazándose hacia el norte.
2) El oso podría regresar al punto $P$ siguiendo el mismo meridiano que al salir de $P$ si, al desplazarse un kilómetro hacia el este, describiese $n$ paralelos completos, pudiendo ser $n=1,2,3,...$. En dicho caso, $P$ no es el polo norte sino un punto de un paralelo muy cercano al polo sur.
Pero cómo en el polo sur no hay osos, el oso podría ser blanco. Teniendo como verdadera la proposición 1).
Pero aún así con los datos iniciales no podemos demostrar que el osos es blanco.
El universo según Penrose Carlos Alfieri entrevista a Roger Penrose (Periódico La Jornada)
Biografía de Roger Penrose.
Físico, matemático y cosmólogo eminente, el inglés Roger Penrose –nacido en Colchester, Reino Unido, en 1931– es para algunos de sus colegas, junto con Stephen Hawking (con quien escribió los libros Cuestiones cuánticas y cosmológicas, 1995, y La naturaleza del espacio y el tiempo, 1996), el especialista en la teoría general de la relatividad más importante desde Einstein y, en todo caso, una de las mentes analíticas más relevantes de nuestro tiempo. Cursó estudios en la Universidad de Londres y en el St. John’s College de Cambridge; a partir de 1964 fue profesor de matemáticas aplicadas y director del Birkbeck College de Londres, y desde 1973 ocupó la cátedra de matemáticas Rouse Ball en la Universidad de Oxford, de la que actualmente es profesor emérito. Como profesor invitado ha dictado clases en numerosas universidades estadunidenses, como las de Princeton, Cornell, Austin y Houston, entre otras. Fue distinguido con los máximos galardones del mundo de la física y de las matemáticas, como el Adams Prize de la Universidad de Cambridge, la Royal Medal o la Albert Einstein Medal, y en 1998 le fue concedido el Premio Wolf –especie de Nobel de las matemáticas– por sus investigaciones sobre la estructura del universo. Sus contribuciones científicas han sido decisivas para el estudio de los agujeros negros: a él se debe un sistema para cartografiar los alrededores de dichos fenómenos astrofísicos al que hoy se denomina Diagrama Penrose. Mientras realizaba indagaciones cosmológicas con Stephen Hawking dedujo que, si se reconoce la validez de la teoría de la relatividad hasta sus últimas consecuencias, en un agujero negro debe haber una singularidad en la que dejan de ser aplicables las leyes de la física. Es el creador de la compleja teoría de twistors, unos objetos geométricos abstractos que operan en un espacio multidimensional que subyace al espacio-tiempo, con la que intentó ir más allá de los campos y partículas de la mecánica cuántica. Es además un entusiasta de los aspectos lúdicos y paradojales de las matemáticas; gran admirador del artista holandés Mauritz Cornelius Escher, ha diseñado figuras geométricas paradojales; a la manera del célebre grabador, construyó dos formas que teselan el plano, pero que sólo pueden hacerlo de modo no periódico. Asombrosamente, las formas tridimensionales de las teselas de Penrose, que surgieron casi como un divertimento, se hallan en la base de un nuevo tipo de materia, los "cuasicristales". Las preocupaciones intelectuales de Roger Penrose sobrepasan las fronteras de las matemáticas y la física y se han adentrado en el campo del funcionamiento de la mente y de las relaciones de ésta con el cuerpo. En contra de fervorosos de la inteligencia artificial como Marvin Minsky, uno de sus pioneros, que afirma que las máquinas llegarán a pensar como los seres humanos, Penrose despliega sólidos argumentos científicos para sostener la imposibilidad de que esa predicción se cumpla y la absoluta especificidad del pensamiento humano y su capacidad de comprensión consciente. Recurre para ello a instrumentos de la mecánica cuántica reformulada para sostener que en el cerebro de los seres humanos hay algo que escapa a la representación algorítmica propia de los ordenadores, a la computación, y es la aptitud para descubrir las ideas que hacen posible la descripción del mundo físico en términos matemáticos. Sus posiciones teóricas lo han alejado de Stephen Hawking, a quien acusa de reduccionismo, mientras éste caracteriza a Penrose como un platónico que cree a pie juntillas en la existencia objetiva de los entes matemáticos, es decir, en un nuevo realismo de las ideas. Las publicaciones de Penrose son innumerables, y junto con sus textos de altísima especialización coexisten otros de divulgación que lo han hecho popular; sin embargo, se trata de un tipo de divulgación que requiere lectores autoexigentes: sus libros, como el último y monumental El camino a la realidad, verdadera summa y puesta al día de las leyes que rigen el universo, están sembrados de ecuaciones y fórmulas complejas. Para dar una idea de su vasta obra acaso sea suficiente mencionar, aparte de los dos libros que escribió con Hawking, algunos otros: Techniques of Differential Topology in Relativity (1973), Spinors and Space-Time (junto con Wolfgang Rindler; vol. 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields, 1984; vol. 2, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry, 1986), La nueva mente del emperador (1989), Las sombras de la mente (1994), Lo grande, lo pequeño y la mente humana (1997), y su último título, El camino a la realidad (2004), publicado recientemente en español por la editorial Debate. Penrose accedió a esta entrevista con extraordinaria afabilidad y dio muestras en todo momento de la sencillez, la paciencia y la sincera modestia propia de los verdaderos sabios.
Entrevista
–Profesor Penrose, me gustaría aclararle ante todo que formularé preguntas desde la curiosidad, digamos, humanística, pero desde la ignorancia científica. Desafortunadamente, soy uno de esos lectores de su libro El camino a la realidad que al encontrarse con una fórmula matemática la saltan despavoridos.
–No se preocupe. Son muchos. Lo comprendo.
– San Agustín afirmó que el universo no nació en el tiempo sino con el tiempo. ¿Se trató de una intuición genial de la teoría de la relatividad?
–Desde luego, hoy se puede pensar que el tiempo sólo existe como parte del universo, es decir que no podríamos decir que el universo apareció en un momento determinado. De alguna manera, el tiempo y el universo surgieron a la vez. Así que, en efecto, parece que San Agustín tuvo una intuición genial.
–Después de Einstein, se acepta que el espacio y el tiempo son parte del universo físico y nacieron con él. Es decir que con el Big Bang nació la materia, la energía originaria, el espacio y el tiempo. Cuando pregunto qué había antes del Big Bang, o qué cosa lo causó, o cómo era el tiempo antes del tiempo, me responden que esas preguntas no tienen sentido, porque no había un antes del Big Bang, puesto que antes implica un concepto temporal, y no había tiempo, ni tampoco una causa antecedente a la manera en que la entendía la física clásica, ya que el Big Bang es un acontecimiento excepcional por antonomasia.
El problema es que mi mente no puede concebir cómo sería una ausencia de espacio, un no tiempo, una no causa. ¿Estas preguntas, verdaderamente, no pueden obtener respuesta desde ninguna teoría física?
–He aquí una pregunta muy interesante, y sobre todo, formulada en un momento oportuno, quiero decir no antes del último año y medio. Porque mi opinión ha cambiado de algún modo en los últimos tiempos. Y ha cambiado incluso desde la aparición de mi libro El camino a la realidad. Si me hubiese preguntado esto hace un año y medio, le habría dado la respuesta estándar, por así decirlo, que viene a ser lo que usted comentaba antes: que el espacio y el tiempo no tenían significado antes del Big Bang, y que por lo tanto hablar de un antes sería absurdo. Precisamente la última pregunta que le hicieron a Stephen Hawking en un reciente programa de entrevistas de la televisión británica fue ésa: ¿qué pasaba antes del Big Bang? Y Steve dio la consabida respuesta convencional, por lo menos así la considero yo. Pero ahora... Empezaré por lo que digo en El camino a la realidad. El estado inicial del universo fue algo extraordinariamente especial, singular. Y hay una razón muy simple para que tuviese que ser tan especial, y tiene que ver con la segunda ley de la termodinámica, que dice, aproximadamente, que las cosas van siendo cada vez más aleatorias conforme transcurre el tiempo, o, dicho de otra manera, tienden al desorden, a una mayor entropía. Si reinterpreto esa ley y vamos hacia el pasado, las cosas deben ser menos aleatorias en el pasado, es decir mucho más especiales. Así que el estado inicial del universo debió haber sido muy organizado. Diríamos que es casi una paradoja, porque una de las evidencias más fuertes de la existencia del Big Bang son las radiaciones de microondas que sustentan la teoría. El Premio Nobel de Física de 2006, justamente, se concedió a los astrofísicos estadunidenses John C. Mather y George F. Smoot por sus investigaciones sobre el fondo cósmico de microondas, que contiene una información fundamental sobre el origen del universo. Pero de esta evidencia lo que más llama la atención es que en el Big Bang debió registrarse una entropía total, la máxima aleatoriedad...
–¿En el momento exacto del Big Bang?
– Bueno, sí y no. Digamos unos 300 mil años después, más o menos. Entonces, la aleatoriedad está ahí, pero por otro lado yo decía que ése tenía que ser un estado extremadamente especial, singularísimo. La respuesta es que la aleatoriedad era la de la materia y la de la radiación, pero en las coordenadas, por decirlo así, en que el universo era muy especial era en la geometría del espacio-tiempo. Es decir, en el contexto de la gravedad. O sea que el universo era singular de esta manera específica: en el espacio-tiempo. Todo era aleatorio, menos la gravedad. Esto lo sabemos ahora, pero necesitamos una teoría que lo explique. Por eso he estado pensando en estos asuntos durante años, y en el libro menciono con particular interés este problema. Aunque debo decirle que a casi nadie le preocupa este asunto.
–¿Entre los científicos?
–Sí, entre los cosmólogos. Bueno, no sé si les preocupa, pero casi nadie lo dice... Es curioso, producen unas teorías locas, pero nunca exponen una teoría para explicar esto.
–Entonces, ¿hoy no sería absurdo preguntar por lo que había antes del Big Bang?
–Es complicado. Vamos a ver cómo puedo explicarlo. La gravedad no era parte del estado térmico, no era aleatoria sino especial. En el campo gravitatorio no había un margen de libertad, por decirlo de otra manera, o los grados de libertad del campo gravitacional no estaban activados. Así que ahora mismo yo tengo una manera de expresar lo que esto significa. Y es que si echamos marcha atrás hacia el Big Bang nos encontramos con una geometría del espacio-tiempo que puede continuar en una fase anterior al Big Bang, y eso es lo que expresa esta condición. Se podría objetar que esto es un truquito matemático, pero no es meramente un truco, es real. Es lo que yo creo ahora. Y según esto, sí, había una fase anterior al Big Bang.
–La teoría del Big Bang sostiene que el universo está en expansión. A partir de esta tesis se generan dos alternativas principales. Una es que esa expansión continuará por siempre. La otra es que, al parecer, la velocidad con que se expande el universo está disminuyendo, a causa de que las galaxias y la materia que se encuentra entre ellas ejercen un efecto gravitacional que va frenando la expansión, con lo cual se produciría una inversión de ese movimiento de expansión y toda la materia universal terminaría concentrándose en un punto de extraordinaria densidad, como el que existía al acaecer el Bing Bang. Es decir que el universo acabaría destruyéndose. Se trataría de esa brutal compresión que algunos astrofísicos llaman, un poco en broma, el Big Crunch. ¿De cuál de estas hipótesis se siente usted más cerca?
–Pienso que continuará esa expansión indefinidamente. He dado muchas vueltas en torno a estos temas y a lo aburridísimo que va a ser el universo en el futuro. Bueno, pero nosotros no nos aburriríamos en ese sentido: no vamos a estar ahí, de todas formas. Esta es, por supuesto, una respuesta muy antropomórfica. Lo que habrá será radiación, luz que viaja. Pero creo que la luz no se aburrirá, porque no experimenta el paso del tiempo. Si me permite utilizar una expresión un poco americana, "la eternidad tampoco es para tanto". ¿Qué es la eternidad para un fotón? Así que en este estado último del universo, que será tan sólo radiación, partículas sin masa, no hay manera de contar el tiempo, porque las partículas no pueden "generar un reloj", por así decirlo. Si en el futuro remoto el universo "se olvida" del componente del tiempo y del espacio, porque ambos están ligados, y si en el pasado remoto también "se olvidaba" del tiempo y del espacio, por razones ligeramente diferentes, porque lo que ocurría es que la temperatura era altísima en ese pasado y cuando es tan elevada la masa se hace irrelevante, concluiremos que el estado inicial y el estado final del universo son casi iguales. O sea que según esta teoría, el futuro remoto se parecerá muchísimo al pasado remoto, al Big Bang. La única diferencia es la escala, y si el universo "se olvida" de la escala, el futuro remoto puede ser otro Big Bang. Así que yo he generado un modelo en el que el universo pasa por ciclos, en el que el futuro remoto se convierte en el Big Bang de la fase siguiente.
– ¿Que daría lugar a otro universo?
– Exactamente.
–Pero entonces las dos alternativas que mencionaba en mi pregunta conducen igualmente a la destrucción del universo tal como lo conocemos, con la materia, los hombres...
–Sí, en efecto, si quiere ponerlo así... Pero no sería el Big Crunch, el gran colapso, por razones que no puedo explicarle en este momento, pues habría que entrar en multitud de detalles.
–Claro, pero la diferencia no me consuela: igual, todo desaparecerá.
–Bueno, ya le dije que de todos modos nosotros no estaremos.
–Stephen Hawking predijo en la década de 1990 que estaba próxima a llegar una teoría completa que explicara las interacciones fundamentales del universo. Profesor Penrose, su monumental libro El camino a la realidad es un verdadero "estado de la cuestión" de todos los progresos de la física contemporánea. ¿Se ha avanzado mucho por el camino de la búsqueda de una teoría total?
–No mucho.
–Tal vez era excesivo el optimismo de Hawking.
–Sí, aunque no sé si llamarlo optimista o pesimista. Porque si Hawking tuviera razón, la "teoría del todo" sería una teoría muy fea.
–Su última obra explora "el camino a la realidad". Pero ¿qué entiende usted por realidad?
–Hablo de la realidad de los objetos físicos: esta mesa, este bolígrafo, la Tierra... Pero en mi libro distingo tres mundos de la realidad. Por un lado, el de la realidad física; por otro, el de la experiencia mental, y por último, el mundo platónico de los absolutos matemáticos. Así que concibo tres tipos distintos de realidad. Y en mi libro me ocupo de la relación entre el mundo físico y las matemáticas.
–Precisamente, ¿qué tipo de vínculo tienen las matemáticas con la realidad física?
–Creo que es un misterio. Pero considero que estos tres mundos de la realidad están interrelacionados. Sin embargo, para ser sincero, no entendemos el porqué. De alguna manera, parece que hay un acuerdo extraordinario entre la realidad física y las estructuras matemáticas.
–Así que Pitágoras, Platón, Galileo tenían razón: el código del mundo está escrito en caracteres matemáticos, aunque no sabemos por qué.
–Sí. Sin duda.
–Usted ha investigado y escrito sobre las relaciones entre mente y cuerpo. ¿Qué lo llevó a trasponer las fronteras de la física y de las matemáticas para indagar en el funcionamiento de la mente?
–Es un punto de vista que he formulado ya cuando estaba en la universidad, en la década de 1950. Y fundamentalmente me inspiré en el teorema de Gödel, que demuestra que las verdades matemáticas no pueden reducirse solamente a cálculos, y que para comprender las realidades matemáticas necesitamos ir más allá, salir de las meras normas de computación. Es decir, que ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo. Lo que Gödel hace es mostrar cómo se pueden establecer ciertas verdades matemáticas que están fuera del alcance de las normas matemáticas. Así que la manera en que nosotros entendemos esas normas nos permite trascender más allá de las normas mismas. Lo que eso me indica es que nuestra comprensión está fuera de las normas. Este es un aspecto de la cuestión que nos lleva a la fase siguiente, nuestro cerebro y la capacidad de pensar conscientemente, que es lo que nos separa para siempre de las computadoras: la más potente y perfeccionada de ellas puede realizar cálculos de asombrosa complejidad con vertiginosa rapidez, pero jamás "entenderá" lo que hace. Es el resultado de cómo operan las leyes físicas, y esas leyes físicas tienen que estar fuera de la actividad computacional. La física clásica y la física cuántica tal como la entendemos hoy podrían verse reducidas a computación. Así que tenemos que ir a buscar más allá de estas dos disciplinas. Entonces, yo me pregunto dónde está el enlace más débil en la manera en que entendemos las leyes físicas. Y considero que está en la mecánica cuántica, que incorpora dos procedimientos que son incompatibles: uno es la evolución unitaria de la ecuación de Schrödinger, y el otro es qué es lo que se hace cuando se realiza una medición. Porque de la ecuación de Schrödinger no se puede obtener una medición, y esto es una paradoja, porque un artefacto con el que podamos medir se está construyendo con ingredientes cuánticos, claro, ¿y cómo puede comportarse de manera distinta a lo que postula la ecuación de Schrödinger? Así que todo esto nos indica que hay algo más allá. Y estoy de acuerdo con Einstein, con el mismo Schrödinger, e incluso con Paul Dirac: todos ellos afirmaban que la mecánica cuántica de nuestros días está incompleta. Y necesitamos por tanto completarla. Así que lo que yo especulo es que hace falta fundar las bases para la revolución teórica que permita a la física incluir en su campo el fenómeno de la conciencia.
–Su maestro, el astrofísico Dennis William Sciama, aventuraba la siguiente teoría: "El universo que conocemos está en sintonía con el nacimiento de la vida, con la evolución del hombre y de su inteligencia. Todos los parámetros cosmológicos, astronómicos, físicos y químicos aparecen finamente modulados en función de nuestra especie. ¿Casualidad? ¿La mano de Dios? Yo prefiero creer que el nuestro sea sólo uno de los infinitos universos existentes, cada uno con sus propias características e inaccesibles entre ellos. En éste, nuestro universo, se ha formado el hombre. En otros universos, tal vez, existen criaturas diversísimas de nosotros. De otro modo, ¿cómo es posible pensar que reglas físicas y matemáticas simples y fundamentales, si no tienen nada que ver con mi existencia, puedan conducir mi persona?" ¿Esta sería la teoría antrópica? ¿Según esta teoría, si este universo es para el hombre y el hombre es sólo para este universo, es imposible el conocimiento de otras realidades que eventualmente estén fuera de nuestro mundo? ¿Podemos decir que las matemáticas, o la lógica, o la física que conocemos están inscriptas en el código de nuestro universo y no tienen sentido en otro hipotético cosmos?
–Sí, se trata de la teoría antrópica. Supongo que habrá advertido usted que Dennis Sciama es el hombre a quien dediqué mi libro El camino a la realidad, y digo que fue él quien me mostró la emoción de la física...
–Claro, por supuesto.
–Estoy de acuerdo en que existen cuestiones significativas comprendidas en el principio antrópico que cabría discutir. En realidad, la dificultad radica en que uno no sabe lo que es un ser consciente. Y es un poco lo que Sciama dice en la cita que usted acaba de mencionar. Si existiera otro universo, con otras leyes, podría ser que los seres que surgieran fueran bastante diferentes de nosotros. Así que es muy difícil aducir, como algunos hacen, que otros universos necesariamente tienen que existir. ¿Sabe? Hay gente que diría que los parámetros de la naturaleza están afinados hasta tal grado, que o bien el universo fue diseñado por alguna clase de dios, o existen todos estos universos alternativos. Y la verdad es que yo mismo no estoy demasiado convencido de que sea absolutamente necesario que exista esta multiplicidad de universos. Quisiera mencionar algo que está relacionado con una cuestión que apuntaba antes, y no estoy seguro de si me gusta o no me gusta esto: si concebimos que se pasa de una fase a otra del universo, podemos admitir que las constantes de la naturaleza pueden reajustarse, así que en cada fase puede haber diferentes posibilidades de vida, o de vidas. Puede ser que nosotros seamos solamente algo relativo a esta fase. Bueno, estas son mis preocupaciones, son los argumentos que a mí me preocupan, así que preferiría no pronunciarme al respecto.
–O sea que más que en universos simultáneos usted cree en universos sucesivos.
–Así es, en efecto.
–Dice su compatriota y colega Paul Davies que los cosmólogos de hoy han adoptado la física cuántica para tratar de hacer razonable, de alguna manera, la idea teológica de una creación del universo desde la nada. Comenta Davies que así deviene concebible, por primera vez para la ciencia, un universo que nace por una especie de fluctuación cuántica: su origen, –digamos el Big Bang– es un evento sin causa. ¿La cosmología moderna, paradójicamente, viene a coincidir con la doctrina religiosa de una creación del mundo a partir de la nada?
–Me gustaría mantener mi trabajo y mis argumentos separados de los puntos de vista religiosos. Desde luego, cuando estaba viva la controversia entre la teoría del Big Bang y la del estado estático del universo se hablaba de esto, y los que sostenían la concepción del estado estático aducían que ésta era coherente con los que no creían en Dios, mientras que el Big Bang venía muy bien a los religiosos. El problema es que si metemos la religión en los argumentos científicos, entonces uno está, realmente, subjetivizando las teorías. No sé lo que opinaría Paul Davies de estas nuevas ideas mías que le he estado comentando.
–También Paul Davies reflexiona acerca de que debe haber habido un acto de inteligencia que seleccionó la enorme variedad de universos posibles y "eligió" uno, o una gama restringida de universos. Y sostiene que no es ilícito concebir que esta selección se sitúa fuera o más allá del dominio de la física, en el ámbito de la metafísica. Así, dice, desde un punto de vista religioso se puede decir que esta selección ha sido hecha por Dios, pero muchos científicos no aceptan esta explicación y afirman que debemos investigar un mecanismo de selección que sea totalmente interno al universo. ¿Cuál es su posición al respecto?
–En general, no me entusiasman demasiado estos modelos teóricos de multiuniversos. Pero, por otro lado, este esquema un poco alocado [ríe] que antes le describí, con esos ciclos sucesivos del universo, abre la posibilidad de que las constantes de la naturaleza vayan cambiando de una fase a otra. Habría que ocuparse de esta cuestión. Y podría ser una cuestión seria para mí, porque en este modelo existen predicciones bastante claras, que no he mencionado, sobre las fluctuaciones de ese ruido de fondo o fondo cósmico de microondas, que deben tener unas características específicas si la fase anterior y la fase siguiente se parecen. Esto podría verificarse por medio de la observación. Y como científico que soy, debiera permitir que se someta mi teoría a la comprobación. Como le he dicho, las predicciones de esta teoría son bastante claras, si bien puede ser que al final se demuestre que son erróneas, en cuyo caso tengo una alternativa un tanto resbaladiza, por así decirlo, que sería decir: las constantes de la naturaleza eran diferentes, y por eso la teoría no puede ser probada por medio de la observación.
–¿Qué respuesta daría la física a la clásica pregunta de la metafísica de "por qué hay algo y no más bien nada"?
–No lo sé. En un sentido matemático se puede contestar este interrogante hasta cierto punto. Porque un concepto matemático existe si es consistente. Así que si las reglas, las normas son consistentes y coherentes entre sí, entonces decimos que esa entidad existe. Pero claro, este es el sentido matemático de la existencia. Se podría pensar que la existencia física es más o menos así, pero la verdad es que no estoy seguro. Necesitamos saber más acerca de qué es lo que constituye la existencia en el sentido físico del término. Mi sospecha es que tendrá que ver con la percepción consciente, porque la pregunta sobre si existe un universo es posible porque soy consciente.
–Esto llevaría a otra pregunta: ¿es contingente el universo o necesariamente tenía que existir?
–Con sus preguntas me está llevando a los límites de la física. Creo que voy a empezar a utilizar un comodín.
–Quizás desembocamos en la filosofía.
–Bueno, vale, no pasa nada. Lo que no sé es si contestaré a ciertas preguntas. En este caso voy a optar por pasar, como se permite hacer a los concursantes en algunos programas de televisión.
Entrevista
–Profesor Penrose, me gustaría aclararle ante todo que formularé preguntas desde la curiosidad, digamos, humanística, pero desde la ignorancia científica. Desafortunadamente, soy uno de esos lectores de su libro El camino a la realidad que al encontrarse con una fórmula matemática la saltan despavoridos.
–No se preocupe. Son muchos. Lo comprendo.
– San Agustín afirmó que el universo no nació en el tiempo sino con el tiempo. ¿Se trató de una intuición genial de la teoría de la relatividad?
–Desde luego, hoy se puede pensar que el tiempo sólo existe como parte del universo, es decir que no podríamos decir que el universo apareció en un momento determinado. De alguna manera, el tiempo y el universo surgieron a la vez. Así que, en efecto, parece que San Agustín tuvo una intuición genial.
–Después de Einstein, se acepta que el espacio y el tiempo son parte del universo físico y nacieron con él. Es decir que con el Big Bang nació la materia, la energía originaria, el espacio y el tiempo. Cuando pregunto qué había antes del Big Bang, o qué cosa lo causó, o cómo era el tiempo antes del tiempo, me responden que esas preguntas no tienen sentido, porque no había un antes del Big Bang, puesto que antes implica un concepto temporal, y no había tiempo, ni tampoco una causa antecedente a la manera en que la entendía la física clásica, ya que el Big Bang es un acontecimiento excepcional por antonomasia.
El problema es que mi mente no puede concebir cómo sería una ausencia de espacio, un no tiempo, una no causa. ¿Estas preguntas, verdaderamente, no pueden obtener respuesta desde ninguna teoría física?
–He aquí una pregunta muy interesante, y sobre todo, formulada en un momento oportuno, quiero decir no antes del último año y medio. Porque mi opinión ha cambiado de algún modo en los últimos tiempos. Y ha cambiado incluso desde la aparición de mi libro El camino a la realidad. Si me hubiese preguntado esto hace un año y medio, le habría dado la respuesta estándar, por así decirlo, que viene a ser lo que usted comentaba antes: que el espacio y el tiempo no tenían significado antes del Big Bang, y que por lo tanto hablar de un antes sería absurdo. Precisamente la última pregunta que le hicieron a Stephen Hawking en un reciente programa de entrevistas de la televisión británica fue ésa: ¿qué pasaba antes del Big Bang? Y Steve dio la consabida respuesta convencional, por lo menos así la considero yo. Pero ahora... Empezaré por lo que digo en El camino a la realidad. El estado inicial del universo fue algo extraordinariamente especial, singular. Y hay una razón muy simple para que tuviese que ser tan especial, y tiene que ver con la segunda ley de la termodinámica, que dice, aproximadamente, que las cosas van siendo cada vez más aleatorias conforme transcurre el tiempo, o, dicho de otra manera, tienden al desorden, a una mayor entropía. Si reinterpreto esa ley y vamos hacia el pasado, las cosas deben ser menos aleatorias en el pasado, es decir mucho más especiales. Así que el estado inicial del universo debió haber sido muy organizado. Diríamos que es casi una paradoja, porque una de las evidencias más fuertes de la existencia del Big Bang son las radiaciones de microondas que sustentan la teoría. El Premio Nobel de Física de 2006, justamente, se concedió a los astrofísicos estadunidenses John C. Mather y George F. Smoot por sus investigaciones sobre el fondo cósmico de microondas, que contiene una información fundamental sobre el origen del universo. Pero de esta evidencia lo que más llama la atención es que en el Big Bang debió registrarse una entropía total, la máxima aleatoriedad...
–¿En el momento exacto del Big Bang?
– Bueno, sí y no. Digamos unos 300 mil años después, más o menos. Entonces, la aleatoriedad está ahí, pero por otro lado yo decía que ése tenía que ser un estado extremadamente especial, singularísimo. La respuesta es que la aleatoriedad era la de la materia y la de la radiación, pero en las coordenadas, por decirlo así, en que el universo era muy especial era en la geometría del espacio-tiempo. Es decir, en el contexto de la gravedad. O sea que el universo era singular de esta manera específica: en el espacio-tiempo. Todo era aleatorio, menos la gravedad. Esto lo sabemos ahora, pero necesitamos una teoría que lo explique. Por eso he estado pensando en estos asuntos durante años, y en el libro menciono con particular interés este problema. Aunque debo decirle que a casi nadie le preocupa este asunto.
–¿Entre los científicos?
–Sí, entre los cosmólogos. Bueno, no sé si les preocupa, pero casi nadie lo dice... Es curioso, producen unas teorías locas, pero nunca exponen una teoría para explicar esto.
–Entonces, ¿hoy no sería absurdo preguntar por lo que había antes del Big Bang?
–Es complicado. Vamos a ver cómo puedo explicarlo. La gravedad no era parte del estado térmico, no era aleatoria sino especial. En el campo gravitatorio no había un margen de libertad, por decirlo de otra manera, o los grados de libertad del campo gravitacional no estaban activados. Así que ahora mismo yo tengo una manera de expresar lo que esto significa. Y es que si echamos marcha atrás hacia el Big Bang nos encontramos con una geometría del espacio-tiempo que puede continuar en una fase anterior al Big Bang, y eso es lo que expresa esta condición. Se podría objetar que esto es un truquito matemático, pero no es meramente un truco, es real. Es lo que yo creo ahora. Y según esto, sí, había una fase anterior al Big Bang.
–La teoría del Big Bang sostiene que el universo está en expansión. A partir de esta tesis se generan dos alternativas principales. Una es que esa expansión continuará por siempre. La otra es que, al parecer, la velocidad con que se expande el universo está disminuyendo, a causa de que las galaxias y la materia que se encuentra entre ellas ejercen un efecto gravitacional que va frenando la expansión, con lo cual se produciría una inversión de ese movimiento de expansión y toda la materia universal terminaría concentrándose en un punto de extraordinaria densidad, como el que existía al acaecer el Bing Bang. Es decir que el universo acabaría destruyéndose. Se trataría de esa brutal compresión que algunos astrofísicos llaman, un poco en broma, el Big Crunch. ¿De cuál de estas hipótesis se siente usted más cerca?
–Pienso que continuará esa expansión indefinidamente. He dado muchas vueltas en torno a estos temas y a lo aburridísimo que va a ser el universo en el futuro. Bueno, pero nosotros no nos aburriríamos en ese sentido: no vamos a estar ahí, de todas formas. Esta es, por supuesto, una respuesta muy antropomórfica. Lo que habrá será radiación, luz que viaja. Pero creo que la luz no se aburrirá, porque no experimenta el paso del tiempo. Si me permite utilizar una expresión un poco americana, "la eternidad tampoco es para tanto". ¿Qué es la eternidad para un fotón? Así que en este estado último del universo, que será tan sólo radiación, partículas sin masa, no hay manera de contar el tiempo, porque las partículas no pueden "generar un reloj", por así decirlo. Si en el futuro remoto el universo "se olvida" del componente del tiempo y del espacio, porque ambos están ligados, y si en el pasado remoto también "se olvidaba" del tiempo y del espacio, por razones ligeramente diferentes, porque lo que ocurría es que la temperatura era altísima en ese pasado y cuando es tan elevada la masa se hace irrelevante, concluiremos que el estado inicial y el estado final del universo son casi iguales. O sea que según esta teoría, el futuro remoto se parecerá muchísimo al pasado remoto, al Big Bang. La única diferencia es la escala, y si el universo "se olvida" de la escala, el futuro remoto puede ser otro Big Bang. Así que yo he generado un modelo en el que el universo pasa por ciclos, en el que el futuro remoto se convierte en el Big Bang de la fase siguiente.
– ¿Que daría lugar a otro universo?
– Exactamente.
–Pero entonces las dos alternativas que mencionaba en mi pregunta conducen igualmente a la destrucción del universo tal como lo conocemos, con la materia, los hombres...
–Sí, en efecto, si quiere ponerlo así... Pero no sería el Big Crunch, el gran colapso, por razones que no puedo explicarle en este momento, pues habría que entrar en multitud de detalles.
–Claro, pero la diferencia no me consuela: igual, todo desaparecerá.
–Bueno, ya le dije que de todos modos nosotros no estaremos.
–Stephen Hawking predijo en la década de 1990 que estaba próxima a llegar una teoría completa que explicara las interacciones fundamentales del universo. Profesor Penrose, su monumental libro El camino a la realidad es un verdadero "estado de la cuestión" de todos los progresos de la física contemporánea. ¿Se ha avanzado mucho por el camino de la búsqueda de una teoría total?
–No mucho.
–Tal vez era excesivo el optimismo de Hawking.
–Sí, aunque no sé si llamarlo optimista o pesimista. Porque si Hawking tuviera razón, la "teoría del todo" sería una teoría muy fea.
–Su última obra explora "el camino a la realidad". Pero ¿qué entiende usted por realidad?
–Hablo de la realidad de los objetos físicos: esta mesa, este bolígrafo, la Tierra... Pero en mi libro distingo tres mundos de la realidad. Por un lado, el de la realidad física; por otro, el de la experiencia mental, y por último, el mundo platónico de los absolutos matemáticos. Así que concibo tres tipos distintos de realidad. Y en mi libro me ocupo de la relación entre el mundo físico y las matemáticas.
–Precisamente, ¿qué tipo de vínculo tienen las matemáticas con la realidad física?
–Creo que es un misterio. Pero considero que estos tres mundos de la realidad están interrelacionados. Sin embargo, para ser sincero, no entendemos el porqué. De alguna manera, parece que hay un acuerdo extraordinario entre la realidad física y las estructuras matemáticas.
–Así que Pitágoras, Platón, Galileo tenían razón: el código del mundo está escrito en caracteres matemáticos, aunque no sabemos por qué.
–Sí. Sin duda.
–Usted ha investigado y escrito sobre las relaciones entre mente y cuerpo. ¿Qué lo llevó a trasponer las fronteras de la física y de las matemáticas para indagar en el funcionamiento de la mente?
–Es un punto de vista que he formulado ya cuando estaba en la universidad, en la década de 1950. Y fundamentalmente me inspiré en el teorema de Gödel, que demuestra que las verdades matemáticas no pueden reducirse solamente a cálculos, y que para comprender las realidades matemáticas necesitamos ir más allá, salir de las meras normas de computación. Es decir, que ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo. Lo que Gödel hace es mostrar cómo se pueden establecer ciertas verdades matemáticas que están fuera del alcance de las normas matemáticas. Así que la manera en que nosotros entendemos esas normas nos permite trascender más allá de las normas mismas. Lo que eso me indica es que nuestra comprensión está fuera de las normas. Este es un aspecto de la cuestión que nos lleva a la fase siguiente, nuestro cerebro y la capacidad de pensar conscientemente, que es lo que nos separa para siempre de las computadoras: la más potente y perfeccionada de ellas puede realizar cálculos de asombrosa complejidad con vertiginosa rapidez, pero jamás "entenderá" lo que hace. Es el resultado de cómo operan las leyes físicas, y esas leyes físicas tienen que estar fuera de la actividad computacional. La física clásica y la física cuántica tal como la entendemos hoy podrían verse reducidas a computación. Así que tenemos que ir a buscar más allá de estas dos disciplinas. Entonces, yo me pregunto dónde está el enlace más débil en la manera en que entendemos las leyes físicas. Y considero que está en la mecánica cuántica, que incorpora dos procedimientos que son incompatibles: uno es la evolución unitaria de la ecuación de Schrödinger, y el otro es qué es lo que se hace cuando se realiza una medición. Porque de la ecuación de Schrödinger no se puede obtener una medición, y esto es una paradoja, porque un artefacto con el que podamos medir se está construyendo con ingredientes cuánticos, claro, ¿y cómo puede comportarse de manera distinta a lo que postula la ecuación de Schrödinger? Así que todo esto nos indica que hay algo más allá. Y estoy de acuerdo con Einstein, con el mismo Schrödinger, e incluso con Paul Dirac: todos ellos afirmaban que la mecánica cuántica de nuestros días está incompleta. Y necesitamos por tanto completarla. Así que lo que yo especulo es que hace falta fundar las bases para la revolución teórica que permita a la física incluir en su campo el fenómeno de la conciencia.
–Su maestro, el astrofísico Dennis William Sciama, aventuraba la siguiente teoría: "El universo que conocemos está en sintonía con el nacimiento de la vida, con la evolución del hombre y de su inteligencia. Todos los parámetros cosmológicos, astronómicos, físicos y químicos aparecen finamente modulados en función de nuestra especie. ¿Casualidad? ¿La mano de Dios? Yo prefiero creer que el nuestro sea sólo uno de los infinitos universos existentes, cada uno con sus propias características e inaccesibles entre ellos. En éste, nuestro universo, se ha formado el hombre. En otros universos, tal vez, existen criaturas diversísimas de nosotros. De otro modo, ¿cómo es posible pensar que reglas físicas y matemáticas simples y fundamentales, si no tienen nada que ver con mi existencia, puedan conducir mi persona?" ¿Esta sería la teoría antrópica? ¿Según esta teoría, si este universo es para el hombre y el hombre es sólo para este universo, es imposible el conocimiento de otras realidades que eventualmente estén fuera de nuestro mundo? ¿Podemos decir que las matemáticas, o la lógica, o la física que conocemos están inscriptas en el código de nuestro universo y no tienen sentido en otro hipotético cosmos?
–Sí, se trata de la teoría antrópica. Supongo que habrá advertido usted que Dennis Sciama es el hombre a quien dediqué mi libro El camino a la realidad, y digo que fue él quien me mostró la emoción de la física...
–Claro, por supuesto.
–Estoy de acuerdo en que existen cuestiones significativas comprendidas en el principio antrópico que cabría discutir. En realidad, la dificultad radica en que uno no sabe lo que es un ser consciente. Y es un poco lo que Sciama dice en la cita que usted acaba de mencionar. Si existiera otro universo, con otras leyes, podría ser que los seres que surgieran fueran bastante diferentes de nosotros. Así que es muy difícil aducir, como algunos hacen, que otros universos necesariamente tienen que existir. ¿Sabe? Hay gente que diría que los parámetros de la naturaleza están afinados hasta tal grado, que o bien el universo fue diseñado por alguna clase de dios, o existen todos estos universos alternativos. Y la verdad es que yo mismo no estoy demasiado convencido de que sea absolutamente necesario que exista esta multiplicidad de universos. Quisiera mencionar algo que está relacionado con una cuestión que apuntaba antes, y no estoy seguro de si me gusta o no me gusta esto: si concebimos que se pasa de una fase a otra del universo, podemos admitir que las constantes de la naturaleza pueden reajustarse, así que en cada fase puede haber diferentes posibilidades de vida, o de vidas. Puede ser que nosotros seamos solamente algo relativo a esta fase. Bueno, estas son mis preocupaciones, son los argumentos que a mí me preocupan, así que preferiría no pronunciarme al respecto.
–O sea que más que en universos simultáneos usted cree en universos sucesivos.
–Así es, en efecto.
–Dice su compatriota y colega Paul Davies que los cosmólogos de hoy han adoptado la física cuántica para tratar de hacer razonable, de alguna manera, la idea teológica de una creación del universo desde la nada. Comenta Davies que así deviene concebible, por primera vez para la ciencia, un universo que nace por una especie de fluctuación cuántica: su origen, –digamos el Big Bang– es un evento sin causa. ¿La cosmología moderna, paradójicamente, viene a coincidir con la doctrina religiosa de una creación del mundo a partir de la nada?
–Me gustaría mantener mi trabajo y mis argumentos separados de los puntos de vista religiosos. Desde luego, cuando estaba viva la controversia entre la teoría del Big Bang y la del estado estático del universo se hablaba de esto, y los que sostenían la concepción del estado estático aducían que ésta era coherente con los que no creían en Dios, mientras que el Big Bang venía muy bien a los religiosos. El problema es que si metemos la religión en los argumentos científicos, entonces uno está, realmente, subjetivizando las teorías. No sé lo que opinaría Paul Davies de estas nuevas ideas mías que le he estado comentando.
–También Paul Davies reflexiona acerca de que debe haber habido un acto de inteligencia que seleccionó la enorme variedad de universos posibles y "eligió" uno, o una gama restringida de universos. Y sostiene que no es ilícito concebir que esta selección se sitúa fuera o más allá del dominio de la física, en el ámbito de la metafísica. Así, dice, desde un punto de vista religioso se puede decir que esta selección ha sido hecha por Dios, pero muchos científicos no aceptan esta explicación y afirman que debemos investigar un mecanismo de selección que sea totalmente interno al universo. ¿Cuál es su posición al respecto?
–En general, no me entusiasman demasiado estos modelos teóricos de multiuniversos. Pero, por otro lado, este esquema un poco alocado [ríe] que antes le describí, con esos ciclos sucesivos del universo, abre la posibilidad de que las constantes de la naturaleza vayan cambiando de una fase a otra. Habría que ocuparse de esta cuestión. Y podría ser una cuestión seria para mí, porque en este modelo existen predicciones bastante claras, que no he mencionado, sobre las fluctuaciones de ese ruido de fondo o fondo cósmico de microondas, que deben tener unas características específicas si la fase anterior y la fase siguiente se parecen. Esto podría verificarse por medio de la observación. Y como científico que soy, debiera permitir que se someta mi teoría a la comprobación. Como le he dicho, las predicciones de esta teoría son bastante claras, si bien puede ser que al final se demuestre que son erróneas, en cuyo caso tengo una alternativa un tanto resbaladiza, por así decirlo, que sería decir: las constantes de la naturaleza eran diferentes, y por eso la teoría no puede ser probada por medio de la observación.
–¿Qué respuesta daría la física a la clásica pregunta de la metafísica de "por qué hay algo y no más bien nada"?
–No lo sé. En un sentido matemático se puede contestar este interrogante hasta cierto punto. Porque un concepto matemático existe si es consistente. Así que si las reglas, las normas son consistentes y coherentes entre sí, entonces decimos que esa entidad existe. Pero claro, este es el sentido matemático de la existencia. Se podría pensar que la existencia física es más o menos así, pero la verdad es que no estoy seguro. Necesitamos saber más acerca de qué es lo que constituye la existencia en el sentido físico del término. Mi sospecha es que tendrá que ver con la percepción consciente, porque la pregunta sobre si existe un universo es posible porque soy consciente.
–Esto llevaría a otra pregunta: ¿es contingente el universo o necesariamente tenía que existir?
–Con sus preguntas me está llevando a los límites de la física. Creo que voy a empezar a utilizar un comodín.
–Quizás desembocamos en la filosofía.
–Bueno, vale, no pasa nada. Lo que no sé es si contestaré a ciertas preguntas. En este caso voy a optar por pasar, como se permite hacer a los concursantes en algunos programas de televisión.
lunes, 24 de enero de 2011
Lise Meitner
Lise Meitner nació en Viena, Austria, el 7 de noviembre de 1878, hija de un abogado vienés. 
Estudió en la Universidad de Viena a la cual ingresó en 1901, en ese mismo año fue entregado por primera vez el premio Nobel.
Meitner se graduó en 1906, con una tesis de contenido experimental y teórico que involucraba ideas de la teoría de la radiación electromagnética, la teoría cinética y la distribución de velocidades moleculares del físico británico James Clerk Maxwell. En 541 años, la Universidad de Viena había doctorado sólo a 14 mujeres; Lise Meitner fue la primera en obtener ese grado en física.
Después de haber concluido sus estudios Lise Meitner se traslada al Instituto de Física de Berlín en 1907 donde ocupo el cargo de asistente del físico Otto Hahn con quien hacia experimentos relacionados con la Radioactividad.
La vida científica de Lise fue muy dificil ya que vivió durante la primera y la segunda Guerra Mundial.
Durante la primera guerra mundial Lise tuvo que abandonar sus experimentos precisamente cuando había comprendido la idea de isótopos.
Además de enfrentarse con una sociedad científica machista
Despues de las guerras Lise y Otto publicaron la existencia del protactino.
Fisión nuclear
Al bombardear con neutrones núcleos de átomos pesados, como los de uranio o plutonio, el impacto hace que el núcleo se separe en dos partes (otros dos núcleos más ligeros). En el proceso se libera gran cantidad de energía y salen otros neutrones que, a su vez, pueden fisionar núcleos vecinos iniciando lo que se conoce como reacción en cadena. La energía liberada es resultado de que la masa del núcleo inicial es mayor que la suma de las masas de los productos de la fisión; la masa “faltante” se transforma en energía de acuerdo con la fórmula de Einstein , donde E es la energía, m la masa y c la velocidad de la luz (300 000 kilómetros por segundo).
El término “fisión nuclear” fue acuñado en 1939 por Lise Meitner y su sobrino Otto Frisch, quienes publicaron la primera explicación teórica sobre este proceso y predijeron la enorme cantidad de energía que produce.
Lise Meitner y Michael Faraday son para mí científicos admirables debido a su gran capacidad para y resolver los problemas a los que se enfrentaron para poder alcanzar sus propósitos.
Estudió en la Universidad de Viena a la cual ingresó en 1901, en ese mismo año fue entregado por primera vez el premio Nobel.
Meitner se graduó en 1906, con una tesis de contenido experimental y teórico que involucraba ideas de la teoría de la radiación electromagnética, la teoría cinética y la distribución de velocidades moleculares del físico británico James Clerk Maxwell. En 541 años, la Universidad de Viena había doctorado sólo a 14 mujeres; Lise Meitner fue la primera en obtener ese grado en física.
Después de haber concluido sus estudios Lise Meitner se traslada al Instituto de Física de Berlín en 1907 donde ocupo el cargo de asistente del físico Otto Hahn con quien hacia experimentos relacionados con la Radioactividad.
La vida científica de Lise fue muy dificil ya que vivió durante la primera y la segunda Guerra Mundial.
Durante la primera guerra mundial Lise tuvo que abandonar sus experimentos precisamente cuando había comprendido la idea de isótopos.
Además de enfrentarse con una sociedad científica machista
Despues de las guerras Lise y Otto publicaron la existencia del protactino.
Fisión nuclear
Al bombardear con neutrones núcleos de átomos pesados, como los de uranio o plutonio, el impacto hace que el núcleo se separe en dos partes (otros dos núcleos más ligeros). En el proceso se libera gran cantidad de energía y salen otros neutrones que, a su vez, pueden fisionar núcleos vecinos iniciando lo que se conoce como reacción en cadena. La energía liberada es resultado de que la masa del núcleo inicial es mayor que la suma de las masas de los productos de la fisión; la masa “faltante” se transforma en energía de acuerdo con la fórmula de Einstein , donde E es la energía, m la masa y c la velocidad de la luz (300 000 kilómetros por segundo).
El término “fisión nuclear” fue acuñado en 1939 por Lise Meitner y su sobrino Otto Frisch, quienes publicaron la primera explicación teórica sobre este proceso y predijeron la enorme cantidad de energía que produce.
Lise Meitner y Michael Faraday son para mí científicos admirables debido a su gran capacidad para y resolver los problemas a los que se enfrentaron para poder alcanzar sus propósitos.
martes, 18 de enero de 2011
El mapeo logístico
Un ejemplo del mapeo logístico
Imaginemos que tenemos una población de conejos en un área limitada y que queremos saber, en todo momento, cuántos conejos hay. Vamos a suponer que el tiempo avanza en pasos, generaciones por ejemplo. Si quisiéramos saber el número de conejos en la generación $t$, lo denotaremos como $P_t$, para cualquier valor de $t$.
Por supuesto el número de conejos que habrá en la generación t depende del número de conejos que ya estaban en la población antes de esa generación y que serán padres de los que se integrarán a la población en la generación t. Es decir, el número de conejos en la generación t está en función, o depende, del número de conejos en la generación $t-1$, esto lo escribimos:
$P_t=f(P_t-1)$
(1.1)
donde$ f$ es una función.
Lo primero que se nos ocurre es que haya una tasa de crecimiento constante de la población, que denotaremos con a, para que entonces ocurra:
$P_t=aP_t-1$
(1.2)
Siguiendo esta regla de correspondencia podemos decir que al principio había a conejos; luego, en la generación$ 2$, hay $a^2$ conejos; $a^3$ en la tercera generación y así sucesivamente. Pero esta regla de correspondencia no funciona muy bien, porque la población de conejos no puede crecer indefinidamente, la naturaleza tiene límites y seguramente luego de un tiempo los conejos ya no tendrían alimento suficiente y la población disminuiría. Es decir, nuestra tasa a no puede tener un valor fijo, debe depender del número de conejos de alguna manera, o sea que a debe ser función de $P_t$. Lo más simple que se nos ocurre es decir que:
$a_t=b-cP_t-1$
(1.3)
donde b y c son constantes. Así la tasa de crecimiento de la población se hace menor cuanto mayor sea la población. Reemplazando la a de la expresión 1.2por esta nueva at tenemos:
$P_t=(b-cP_t-1)P_t-1$
$=bP_t-1-cP^2_t-1$
Si definimos xt = (c / b)Pt, es decir:
$P_t=frac{b}{c}x_t$ (1.5)
entonces podemos reescribir la expresión 1.4 como:
$\frac{b}{c}x_t=\frac{b}{c}x_t-1-c(\frac{b}{c}x_t-1)^2$
$=\frac{b^2}{c}x_t-1-\frac{b^2}{c}x^2_t-1$
$=\frac{b^2}{c}x_t-1(1-x_t-1)$
lo que equivale a decir:
$x_t=bx_t-1(1-x_t-1)$ (1.6)
Esta es la expresión de lo que se conoce como ecuación logística. En este trabajo nos daremos a la tarea de analizar esta ecuación, pero la expresaremos como:
$x_t=4rx_t-1(1-x_t-1)$ (1.7)
y diremos que el dominio es el conjunto de todos los números reales entre cero y uno, es decir el intervalo de la recta real $[0,1]$. También restringiremos el valor de r al mismo intervalo y, como hemos dicho que el tiempo avanza en pasos, los valores para t son los números naturales $N={0,1,...}$.
Imaginemos que tenemos una población de conejos en un área limitada y que queremos saber, en todo momento, cuántos conejos hay. Vamos a suponer que el tiempo avanza en pasos, generaciones por ejemplo. Si quisiéramos saber el número de conejos en la generación $t$, lo denotaremos como $P_t$, para cualquier valor de $t$.
Por supuesto el número de conejos que habrá en la generación t depende del número de conejos que ya estaban en la población antes de esa generación y que serán padres de los que se integrarán a la población en la generación t. Es decir, el número de conejos en la generación t está en función, o depende, del número de conejos en la generación $t-1$, esto lo escribimos:
$P_t=f(P_t-1)$
(1.1)
donde$ f$ es una función.
Lo primero que se nos ocurre es que haya una tasa de crecimiento constante de la población, que denotaremos con a, para que entonces ocurra:
$P_t=aP_t-1$
(1.2)
Siguiendo esta regla de correspondencia podemos decir que al principio había a conejos; luego, en la generación$ 2$, hay $a^2$ conejos; $a^3$ en la tercera generación y así sucesivamente. Pero esta regla de correspondencia no funciona muy bien, porque la población de conejos no puede crecer indefinidamente, la naturaleza tiene límites y seguramente luego de un tiempo los conejos ya no tendrían alimento suficiente y la población disminuiría. Es decir, nuestra tasa a no puede tener un valor fijo, debe depender del número de conejos de alguna manera, o sea que a debe ser función de $P_t$. Lo más simple que se nos ocurre es decir que:
$a_t=b-cP_t-1$
(1.3)
donde b y c son constantes. Así la tasa de crecimiento de la población se hace menor cuanto mayor sea la población. Reemplazando la a de la expresión 1.2por esta nueva at tenemos:
$P_t=(b-cP_t-1)P_t-1$
$=bP_t-1-cP^2_t-1$
Si definimos xt = (c / b)Pt, es decir:
$P_t=frac{b}{c}x_t$ (1.5)
entonces podemos reescribir la expresión 1.4 como:
$\frac{b}{c}x_t=\frac{b}{c}x_t-1-c(\frac{b}{c}x_t-1)^2$
$=\frac{b^2}{c}x_t-1-\frac{b^2}{c}x^2_t-1$
$=\frac{b^2}{c}x_t-1(1-x_t-1)$
lo que equivale a decir:
$x_t=bx_t-1(1-x_t-1)$ (1.6)
Esta es la expresión de lo que se conoce como ecuación logística. En este trabajo nos daremos a la tarea de analizar esta ecuación, pero la expresaremos como:
$x_t=4rx_t-1(1-x_t-1)$ (1.7)
y diremos que el dominio es el conjunto de todos los números reales entre cero y uno, es decir el intervalo de la recta real $[0,1]$. También restringiremos el valor de r al mismo intervalo y, como hemos dicho que el tiempo avanza en pasos, los valores para t son los números naturales $N={0,1,...}$.
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