El mapeo logístico

Un ejemplo del mapeo logístico

Imaginemos que tenemos una población de conejos en un área limitada y que queremos saber, en todo momento, cuántos conejos hay. Vamos a suponer que el tiempo avanza en pasos, generaciones por ejemplo. Si quisiéramos saber el número de conejos en la generación $t$, lo denotaremos como $P_t$, para cualquier valor de $t$.
Por supuesto el número de conejos que habrá en la generación t depende del número de conejos que ya estaban en la población antes de esa generación y que serán padres de los que se integrarán a la población en la generación t. Es decir, el número de conejos en la generación t está en función, o depende, del número de conejos en la generación $t-1$, esto lo escribimos:

$P_t=f(P_t-1)$

(1.1)
donde$ f$ es una función.
Lo primero que se nos ocurre es que haya una tasa de crecimiento constante de la población, que denotaremos con a, para que entonces ocurra:

$P_t=aP_t-1$

(1.2)

Siguiendo esta regla de correspondencia podemos decir que al principio había a conejos; luego, en la generación$ 2$, hay $a^2$ conejos; $a^3$ en la tercera generación y así sucesivamente. Pero esta regla de correspondencia no funciona muy bien, porque la población de conejos no puede crecer indefinidamente, la naturaleza tiene límites y seguramente luego de un tiempo los conejos ya no tendrían alimento suficiente y la población disminuiría. Es decir, nuestra tasa a no puede tener un valor fijo, debe depender del número de conejos de alguna manera, o sea que a debe ser función de $P_t$. Lo más simple que se nos ocurre es decir que:
$a_t=b-cP_t-1$

(1.3)
donde b y c son constantes. Así la tasa de crecimiento de la población se hace menor cuanto mayor sea la población. Reemplazando la a de la expresión 1.2por esta nueva at tenemos:



$P_t=(b-cP_t-1)P_t-1$

$=bP_t-1-cP^2_t-1$


Si definimos xt = (c / b)Pt, es decir:
$P_t=frac{b}{c}x_t$ (1.5)

entonces podemos reescribir la expresión 1.4 como:

$\frac{b}{c}x_t=\frac{b}{c}x_t-1-c(\frac{b}{c}x_t-1)^2$

$=\frac{b^2}{c}x_t-1-\frac{b^2}{c}x^2_t-1$

$=\frac{b^2}{c}x_t-1(1-x_t-1)$


lo que equivale a decir:

$x_t=bx_t-1(1-x_t-1)$ (1.6)


Esta es la expresión de lo que se conoce como ecuación logística. En este trabajo nos daremos a la tarea de analizar esta ecuación, pero la expresaremos como:

$x_t=4rx_t-1(1-x_t-1)$ (1.7)

y diremos que el dominio es el conjunto de todos los números reales entre cero y uno, es decir el intervalo de la recta real $[0,1]$. También restringiremos el valor de r al mismo intervalo y, como hemos dicho que el tiempo avanza en pasos, los valores para t son los números naturales $N={0,1,...}$.