Ejemplo de la página 68 del libro de Polya.

Determinar el punto de intersección de un recta dada y una parábola; cuyo foco y directriz son dadas.

Datos:

Sabemos las coordenadas de los puntos.

P(x,y) 

q(x,0)

F(o,f)

Vértice(0,f/2)

Ecuación de la parábola 

$ x^2 = 4py $

$x=2\sqrt{py}$

$y=mx+b$

$x^2=4(x,y)$

$Pq=Fq$

$Pq = \sqrt{(x2-x1)^2+(y-y)^2}$

$Pq=\sqrt{x_2^2-2x_2x_1+x^2+y^2}$

$F=(0,f)$  $q=(x,y)$

$FP=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$FP=\sqrt{(x-0)^2+(y-f)^2}$

$FP^2=x^2+(y-f)^2$

$FP^2=x^2+y^2-2fy+f^2$

$FP^2=x^2+y^2-2f(mx+b)+f^2$

$x^2+y^2-2fmx-2fb+f^2$

$0=x^2-2fmx-2fb+f^2$

Completando cuadrados

$(x-fm)^2=2fb-f^2+fm^2$

$x-fm=\sqrt{2fb-f^2+fm^2}$

$x=fm+\sqrt{2fb-f^2+fm^2}$

$x=fm+\sqrt{f(2b+(m-1)f)}$

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