INDUCCIÓN MATEMÁTICA

A manera de introducción hacia el estudio de la inducción matemática, anotaré los postulados o axiomas de Peano que nos servirán para poder realizar demostraciones con éste recurso, la inducción matemática.

Los cinco axiomas siguientes conocidos como postulados de Peano por el
matemático italiano que los enuncio en 1899, se pueden establecer como
sigue:

1. 1 es un número natural. (es decir, el conjunto de los números naturales no es vacío)
2. Si a es un número natural, entonces a+1 también es un número natural (llamado el sucesor de a).
3. 1 no es sucesor de ningún número natural. (primer elemento del conjunto)
4. Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son diferentes entonces a y b son números naturales diferentes.
5. Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.

Conociendo los axiomas de Peano particularmente el quinto podemos dar paso a lo que es la demostración por inducción matemática, finalizando con algunas notas que serán de utilidad al hacer la demostración.

*DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN MATEMÁTICA
El quinto postulado de Peano nos indica que siempre es posible alcanzar un número natural
“n” teniendo como punto de partida al número uno y recorriendo los siguientes uno a uno
hasta llegar al número natural “n”. Este postulado, también es conocido con frecuencia
como “principio de inducción”, es la base del método de demostración conocido como
inducción matemática.

El proceso de una demostración por inducción matemática consiste de los siguientes pasos:

1) Escribir claramente la proposición P(n) cuya validez quiere demostrase, especificando la
variable de inducción y el conjunto de valores que puede asignarse a dicha variable. Por
ejemplo, si se escribe P(n), n representa la variable de inducción; si se escribe P(m), m
es la variable de inducción, en general la letra contenida en el paréntesis de P( ), denota
la variable de inducción.

2) Si P(n) es una proposición enunciada para todos los números naturales, se debe verificar
el cumplimiento de la proposición para el menor valor de n (esto equivale a verificar
que 1 pertenece a S, según el quinto postulado de Peano, esto es, verificar que la
proposición se cumple para cuando n =1).

3) Si el punto i se cumple, entonces planteamos que P(k) también se cumple, esto será
nuestra hipótesis, a partir de ello planteamos que para el siguiente de k también se
cumplirá P(k+1) esta será nuestra tesis que debemos demostrar que es verdadera (esto
equivale a demostrar que si k pertenece a S entonces k+1 pertenece a S de acuerdo con
el quinto postulado de Peano).

4) Cuando demostramos la validez de la tesis, se concluye que P(n) es verdadera para todo
n en el conjunto de los números naturales. TIP: Una forma de demostrar la validez de la
tesis es partiendo de la hipótesis.

NOTA: Las primeras preguntas que debemos hacernos al inicio de cada ejercicio son:
¿Cuál es la proposición P(n) cuya validez desea demostrarse?
¿Cuál es la variable de inducción?
¿En que conjunto ha sido enunciada dicha proposición?

NOTA CULTURAL
Al inicio hablamos de los postulados de Peano pero poco conocemos sobre ese personaje,así que en ésta parte de la publicación anotaré algunos datos biográficos que servirán para la formación cultural.

Giuseppe Peano

(Cuneo, actual Italia, 1858-Turín, 1932) Matemático italiano. Estudió en la Universidad de Turín, ciudad a la que su familia se había trasladado en 1870. Sus aportaciones más recordadas son las referentes a la axiomática de las matemáticas. A ese respecto cabe destacar su sus axiomas sobre el conjunto de los números enteros naturales o sobre la estructura de un espacio vectorial, así como la definición del concepto de aplicación lineal. Interesado en el uso de la lógica más como medio de exposición de la matemática que como su fundamento (al estilo de Frege o Russell), desarrolló una sintaxis muchos de cuyos símbolos (como los de pertenencia, unión o intersección) son hoy día empleados de forma universal. En su constante empeño de expulsar la ambigüedad del ámbito de las definiciones y los teoremas matemáticos, tuvo por costumbre denunciar las incorrecciones presentes en la obra tanto de sus predecesores como de sus contemporáneos; se convirtió así en un especialista del contraejemplo, el más famoso de los cuales fue la redefinición del concepto de curva anteriormente propuesto por Camille Jordan.