Rapidez de variación

20. Problema de rapidez de variación. Se vierte agua en un recipiente de forma cónica con una rapidez r. El recipiente en forma de cono de base horizontal tiene el vértice dirigido hacia abajo; el radio de la base del cono es a, su altura b. Determine la velocidad a la que la superficie del agua se eleva cuando la profundidad del agua es y. Después, obtener el valor numérico de la incógnita, suponiendo que $a = 4 dm$, $b = 3 dm$, $r = 2 dm^3$ por minuto y $y = 1 dm$.


Para poder analizar y entender el problema hice una representación gráfica, con los datos proporcionados en dicho problema.

SOLUCIÓN:
Datos
El radio de la base del cono, a = 4 dm.
Altura del cono, b = 3 dm
Rapidez con que el agua se vierte en el recipiente r = 2 dm³ por minuto.
Profundidad del agua en un cierto momento, y = 1 dm.

Se supone que los alumnos conocen las reglas más elementales de diferenciación y la noción de ``rapidez de variación.''
- ¿Cuáles son los datos?
- El radio de la base del cono, a = 4 dm; la altura del cono, b = 3 dm, la rapidez con que el agua se vierte en el recipiente r = 2 dm³ por minuto, y la profundidad del agua en un cierto momento, y = 1 dm.

Ver figura abajo.

- Exacto. El enunciado del problema parece sugerir que se deben dejar de lado, provisionalmente, los valores numéricos y razonar con las letras, expresando la incógnita en función de a, b, r y y, y al final solamente, tras de obtener la expresión algebraica de la incógnita, sustituir los valores numéricos. Adoptemos esta sugerencia. ¿Cuál es la incógnita?

- La velocidad a la que se eleva la superficie del agua cuando la profundidad es y.
- Es decir,¿puede usted expresarlo en otros términos?
- La velocidad con que aumenta la profundidad del agua.
- Nuevamente, ¿puede usted enunciar el problema en forma diferente?
- La rapidez de variación de la profundidad del agua.
- Exacto: la rapidez de variación de y. Pero, ¿qué es la rapidez de variación? Considere usted la definición.
- La derivada de una función representa la rapidez de variación.
- Correcto. Ahora bien, ¿y es una función? Como ya lo hemos dicho, no nos ocuparemos de su valor numérico. ¿Puede imaginar que y varía?
- Sí, y, la profundidad del agua, aumenta a medida que pasa el tiempo.
- Por lo tanto, ¿ y es función de qué?
- Del tiempo t.
- Bien. Introduzca una notación apropiada. ¿Cómo expresaría usted ``la rapidez de variación de y''por medio de símbolos matemáticos?
- $\frac{dy}{dt}$
- Bien. He ahí pues su incógnita. Le hace falta expresarla en términos de a, b, r, y y. De hecho uno de estos datos es una rapidez de variación:¿cuál de ellos?
- r, que representa la rapidez de agua que cae en el recipiente durante un tiempo dado.
- ¿Puede decirlo en otra forma?
- r es la rapidez de variación del volumen de agua en el recipiente.
- Es decir, ¿puede enunciarlo nuevamente en forma diferente: ¿cómo podría escribirlo con una notación apropiada?
- $r = \frac{dV}{dt}$
- ¿Qué es V?
- El volumen de agua que hay en el recipiente en el instante t.
- Bien. Así pues, tiene que expresar $\frac{dy}{dt}$ en términos de a,b,$\frac {dV} { dt } $ , y.
¿Cómo va usted a tratar de hacerlo?
- ...
- Si no puede resolver el problema, trate de resolver, primero un problema relacionado. Si no ve la relación entre $\frac{dy}{dt}$ y los datos, trate de que aparezca alguna relación más sencilla que podría servirle de punto de partida.
_ ...
- ¿No ve usted que existen otras relaciones? Por ejemplo, ¿y y V son independientes una de otra?
- No. Cuando y aumenta, V debe aumentar también.
- Así hay una relación. ¿Cuál es, pues?
- Pues que V es el volumen del cono cuya altura es y. Pero desconozco el radio de la base.
- Sin embargo, puede tenerlo en cuenta. Déle un nombre cualquiera, x por ejemplo.
- $V = \frac{\pi x^2y}{3}$
- Exacto. Ahora, ¿qué sabe usted de x?¿Es independiente de y?
- No. Cuando la profundidad del agua, y, aumenta, el radio de la superficie variable x aumenta también.
- Así pues, hay una relación. ¿Cuál es ésta?
- Sí, claro, hay triángulos semejantes:
$x : y = a : b$
- Una relación más, ¿ve usted? No hay que desaprovecharla. No olvide que usted quería conocer la relación existente entre V y y.
- Se tiene
$x = \frac{ay}{b}$
$V = \frac{\pi a^2y^3}{3b^2}$
- Muy bien. Esto me parece un buen punto de partida. ¿Qué le parece a usted? Pero no olvide su propósito. ¿Cuál es la incógnita?
- $\frac{dy}{dt}$
- Tiene que encontrar una relación entre $\frac{dy}{dt}$, $\frac{dV}{dt}$ y otras cantidades
- Aquí tiene una entre y, V y otras cantidades. ¿Qué hacer?
- Pues claro, diferenciando se tiene
$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi a^2y^2}{b^2}\cdot\frac{dy}{dt}$
He ahí la solución.
-Perfecto. Y, ¿para los valores numéricos?
- Si a = 4, b = 3, $\frac{dV}{dt} = r =$ 2, y = 1, entonces
$2 = \frac{\pi \times 16 \times 1}{9}\cdot \frac{dy}{dt}$.
¿para los valores numéricos?
Si $a = 4$, $b = 3$, 2, $y = 1$, entonces

El resultado numérico es:
$\frac{dy}{dt}=\0.358098622$